CS229 | Machine Learning Stanford University 系列内容 Awesome AI Courses Notes Cheat Sheets @ ShowMeAI
[复习]线性代数与微积分
/ Linear Algebra and Calculus refresher
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[
复习
]
线性代数与微积分
/ Linear Algebra and Calculus refresher
翻译&校正 | 韩信子@
ShowMeAI
编辑 | 南乔@
ShowMeAI
原文作者 |
https://stanford.edu/~shervine
本节原文超链
[1]通用符号 / General Notations
1.1 定义/ Definitions
░▐ 向量 Vector
为一个
维向量,其中
表示第
维元素:
=
1
2
备注: 上述向量
x
可以视为一个
n×1
矩阵,常被称为
列向量
░▐ 矩阵
Matrix
×
为一个
列的矩阵,其中
,
表示第
行第
列的元素:
=
1,1
1,
,1
,
×
1.2 常用矩阵/ Main Matrices
░▐ 单位矩阵
Identity matrix
单位矩阵
×
是对角线元素为
1
、其余元素为
0
的方阵。
=
1 0 0
0
0
0 0 1
备注: 对任意
n
阶方阵
A
n×n
A×I=I×A=A
░▐ 对角矩阵 Diagonal matrix
对角矩阵
×
是对角线元素非
0
、其余元素均为
0
的方阵。
=
1
0 0
0
0
0 0
备注:
D
也可以被记作
diag d
1
,...,d
n
[2]矩阵运算 / Matrix Operations
2.1 乘法/ Multiplication
░▐ 向量-向量 Vector-vector
存在两种类型的向量-向量乘法:
内积:
,
=
=1
外积:
,
:

=
1
1
1
1
×
░▐ 矩阵-向量 Matrix-vector
矩阵
×
向量
的乘积是
阶向量
满足:
=
,1
,
=
=1
,
其中,
,
是矩阵
的行向量,
,
是矩阵
的列向量。
是矩阵
的元素。
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░▐ 矩阵
-
矩阵
Matrix-matrix
矩阵
×
和矩阵
×
的乘积是
×
矩阵
×
,满足:
AB=
a
r,1
T
b
c,1
a
r,1
T
b
c,p
a
r,m
T
b
c,1
a
r,m
T
b
c,p
=
i=1
n
a
c,i
b
r,i
T
n×p
备注:
a
r,i
T
b
r,i
T
分别是矩阵
A
B
的行向量,
a
c,j
b
c,j
分别是矩阵
A
B
的行向量。
[3]其他矩阵 / Other Operations
░▐ 转置 Transpose
矩阵
×
的转置记作
是对
的元素进行翻转:
∀i,j,A
i,j
T
=A
j,i
备注: 对矩阵
A,B
AB
T
=B
T
A
T
░▐ Inverse
可逆方阵
的逆矩阵记作
1
1
是唯一满足以下条件的矩阵:
AA
−1
=A
−1
A=I
备注: 并非所有方阵都可逆。同样,对矩阵
A,B
AB
−1
=B
−1
A
−1
░▐ Trace
方阵
的迹记作
tr
tr
是对角元素的和。
tr
A =
i=1
n
A
i,i
备注: 对矩阵
A,B
tr A
T
=tr A
tr AB =tr BA
░▐ 行列式 Determinant
n
阶方
A
n×n
的行
A
或者
det A
。可式递得到
A
i,j
表示第 i 行第 j 列元素,
A
∖i,∖j
表示 去掉第 i 行第 j 列后的矩阵行列式:
det A = A =
j=1
n
−1
i+j
A
i,j
A
∖i,∖j
备注:当且仅当
A 0
时,
A
是可逆的。同样,
AB = A B
A
T
= A
[4]矩阵的性质 / Matrix Properties
░▐ 对称分解 Symmetric decomposition
一个给定矩阵
可以用其对阵和反对称部分进行表示:
=
+
2
Symmetric
+
2
Antisymmetric
░▐ 范数
Norm
一个范数是一个函数
:
0, +
,其中
是一个向量空间。对于所有
,
N
x+y
N x +N y
对一个标量 aN ax = aN x
N x =0
时,
x=0
,下表总结了最常用的范数:
范数
符号
定义
用例
曼哈顿,
1
||
1
=1
LASSO
欧几里德,
2
||
2
=1
2
Ridge
范数,
||
=1
1
赫尔德不等式
无穷,
||
max
一致收
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░▐ 线性相关
Linearly dependence
如果向量集中的一个向量可以定义为其他向量的线性组合,则称向量集为线性相关。
备注: 若无向量可以按照此法表示,则这些向量被称为线性无关。
░▐ 矩阵的秩
Matrix rank
给定矩阵
的秩记作
rank
,是由列向量成的向空间的维度。等价于
的线
性无关列向量的最大数目。
░▐ 半正定矩阵
Positive semi-definite matrix
矩阵
×
是半正定矩阵(
PSD
),记作
0
=
∀
, 
0
备注: 类似地,矩阵
A
被称作正定,记作
A0
,当它是一个
PSD
矩阵且满足所有非
零向量
x
x
T
Ax>0
░▐ 特征值,特征向量 Eigenvalue eigenvector
给定矩阵
×
被称作
的一个特征值。当存在一个向量
{0}
,称作特
征向量,满足:
=
░▐ 谱定理 Spectral theorem
×
。若
是对称的,则
可以被一个实正交矩阵
×
对角化。
记作 = diag
1
, . . .
∃diagonal =
░▐ 奇异值分解
Singular-value decomposition
给定一个
×
阶的矩阵
,奇异值分解(
SVD
)是一个因子分解机巧,能保证存在酉
矩阵
×
×
和酉矩阵
×
,满足:
=
[5]矩阵的微积分 / Matrix Calculus
░▐ 梯度 Gradient
函数
:
×
,矩阵
×
函数
关于
的梯度是一个
×
矩阵, 记作
如下表示:
(∇
)
=
∂
∂
,
备注: 当且仅当 f 是一个返回标量值的函数时,f 的梯度是有定义的。
░▐
Hessian
函数
:
,向量
(Hessian Matrix)
×
2
并满足:
(∇
2
)
,
=
2
∂
∂
备注: 当且仅当 f 是一个返回标量值的函数时,f 的海森矩阵是有定义的。
░▐ 梯度运算
Gradient operations
对矩阵
, ,
,下列梯度性质值得记住:
A
tr AB =B
T
A
T
f
A
=
A
f A
T
A
tr ABA
T
C =CAB+C
T
AB
T
A
A = A A
−1 T
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